§6 非欧几何简介

欧氏几何与球面几何的区别与联系

    比较球面上的几何图形与平面上的几何图形的性质，我们可以总结出以下显著的差别，见表6-1：

表6-1 球面上的几何图形与平面上的几何图形的性质差异

	欧氏几何	球面几何
直线	过两点有唯一一条直线	过两个非对径点有唯一一条直线（大圆）
	直线可以无限延伸	大圆是封闭的、有限的
角的含义	两直线的交角	两个大圆在交点处切线的交角（即两个大圆所在平面的二面角的平面角）
两点间距离含义	连结它们的直线段长度	过两点的大圆中的劣弧弧长
三角形内角和	等于180°	大于180°
三角形面积	底边长乘高线长的一半	，其中A、B、C为单位球面上三角形的三个内角（弧度制）
三角形全等条件	SSS，SAS，ASA	SSS，SAS，ASA，AAA
相似性	存在不全等的相似三角形	同球面或等球面上没有相似三角形，不存在相似概念
平行性	过直线外一点有且只有一条直线与之平行	任意两条直线必相交于两点；没有平行的概念
勾股定理
余弦定理
正弦定理

    通过上面的比较，我们看到，球面上的几何是与平面几何不同的一种几何理论。平面几何最早由希腊数学家欧几里德（Euclid，公元前300年左右）整理成系统的理论。他的不朽之作《几何原本》不仅包含了平面几何，也包含了立体几何。为了纪念他对人类做出的伟大贡献，后来就把这种几何称为欧氏几何。球面上的几何是与欧氏几何不同的几何，所以叫做非欧几何。
球面上的几何与欧氏几何有不相同之处，但他们之间也有一些共同特征，见表6-2。

表6-2 球面上的几何与欧氏几何的共同特征

	欧氏几何	球面上的几何
直线	都是两点间距离最短的道路
三角形的性质	大边对大角，大角对大边； 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
三角形全等的条件	SSS，SAS，ASA

两种几何的这些相同之处，说明它们之间应该有某种内在的联系。
    首先分析一下球面三角形的面积公式
把这个公式改写成
    这个等式的左端称为球面三角形的角超，它反映出球面上的几何与平面几何的差距。 在平面几何中三角形三内角之和等于，角超等于零。 在球面上的几何中角超大于零。
    不难看出当球面半径R无限增大时，球面逐渐趋向于平面，越来越小，即三角形的角超越来越小，球面三角形逐渐趋向于平面三角形，球面几何的性质逐渐接近于平面几何的性质。所以我们可以说：
当球面半径趋向于无穷大时，球面上的几何以平面几何为极限。
    因为地球的半径非常大，当我们研究的范围相对于地球半径很小时，三角形的角超就一定很小。因此，可以用平面几何的知识来代替球面几何知识，所产生的误差很小。

另一种非欧几何

    通过前一小节的分析，我们发现三角形的三个内角之和的大小，在很大程度上反映了平面欧氏几何与球面几何的差别。当三角形的三个内角之和等于时，就是欧氏几何，当三角形的三个内角之和大于时，就反映出球面几何的主要特征。
有没有三角形三个内角之和小于的几何呢？
    我们简单回顾一段几何发展史。在十七世纪以前，人们认为只有一种几何，就是欧氏几何，它是一切科学的基础。但是到了十七、十八世纪，数学家在对几何理论的基础进行深入研究时，首先把注意力集中在“平行公理”上。

         图6-1

平行公理是这样叙述的：在平面上，过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线不相交(如图6-1)。
    人们没有怀疑这条公理的真伪，而是感到这条公理涉及到无穷的概念，不够直观，人们希望能够证明它，或者用一条更简单、更直观的公理代替它。
    在探索过程中，人们证明了平行公理与“三角形内角和等于”是等价的。即可以用“三角形内角和等于”来代替平行公理。当然，这没有什么实质意义，因为它并不比平行公理简单多少。
    在经过漫长的研究历程和许多数学家的失败与挫折之后，俄国数学家罗巴切夫斯基（Lobatchevsky,1793-1856）认识到“平行公理”是不可能证明的。如果用一条与“平行公理”对立的命题来替换“平行公理”，将会得到一种新的几何理论。这个命题最后被称为“罗氏平行公理”。

罗氏平行公理是这样叙述的：
在平面上，过直线AB外一点C，可以做无穷多条直线与AB不相交（如图6-2）。
    罗巴切夫斯基用这条罗氏平行公理代替了原来的欧氏平行公理，同时，保留欧氏几何中其他所有公理，在此基础上，推导出了一套几何理论。虽然这种几何理论中有许多看似荒谬的不符合人类实际经验的结论，但是在逻辑上这套理论却是无矛盾的。后人就把这种几何理论称为罗氏几何。这也是人们最早发现的非欧几何。
    在罗氏平面几何中，过已知直线AB外一点C有无穷多条直线与已知直线AB不相交。当然还有无穷多条直线与已知直线AB相交。因此存在两条界限直线b和，界于交与不交两类直线之间。这两条直线称为直线AB的平行线。过点C的其它与AB不相交的直线称为AB的离散线。

    图6-3          图6-4      图6-5            图6-6

罗巴切夫斯基证明了：
    两条平行线，在一侧无限接近，而在另一侧无限远离（如图6-3）；
    三角形的三个内角之和小于（如图6-4）；
    存在边长无限而内角和为零的三角形（如图6-5）；
    罗巴切夫斯基在世时，由于罗氏几何的结论与人类的直觉不一致，当时并没有被大多数数学家接受。1868年意大利数学家贝尔特拉米（Beltrami，1835-1900）找到了一种称为伪球面的像两朵喇叭花形状的旋转曲面（如图6-6）。在这种曲面的一片区域上，他发现三角形的三个内角之和小于。这等价于这种曲面上可以建立罗氏几何。这相当于给罗氏几何找到了一种有实际意义的模型。

    后来，法国数学家庞加莱（Poincare,1854-1912）构造出罗氏几何的另一个模型，这种模型有助于对罗氏几何的直观理解。具体模型如下：设C是一圆，D是C的内部，如图6-7所示。
    （1）庞加莱模型中的点是D中的点，称为“罗氏点”；
    （2）庞加莱模型中，过点A、B的“直线”l是过点A、B的圆在D内的那部分圆弧。其中是和C在交点处垂直的圆，即在交点E、F处分别作两个圆的切线，它们相互垂直。图6-7 当A、B在C的直径上时，过点A、B的“直线”即是该直径。
    若D中两条“直线”（即上述圆弧）相交于圆C上，称这两条直线平行；若D中两条直线不相交时，称这两条直线离散（如图6-8）。

图6-8

根据平面几何的知识，可以得到以下结果（图6-9）：

图6-9

    (1)经过两个罗氏点，有唯一的罗氏直线；
    (2)罗氏平行公理成立：在平面上，过直线AB外一点C，可以做无穷多条直线与AB不相交。
    (3)三角形的三个内角之和小于。
    庞加莱的模型说明罗氏几何可以在欧氏平面的一个开圆盘上实现。因此，只要欧氏几何是无矛盾的，罗氏几何也就是无矛盾的。有了贝尔特拉米和庞加莱等人的模型后，罗氏几何逐渐被人们真正接受，成为一种典型的非欧几何。
    比较欧氏几何与非欧几何的性质，我们可以总结出以下显著的差别：

    罗氏几何的发现有着重要的理论意义。它打破了欧氏几何对人类认识的束缚，使人们认识到除了欧氏几何以外，还可以有其它的几何。为了实际问题的需要，完全可以把原本不属于几何范畴的问题，通过一种适当的解释，转化为几何问题。再根据它所遵循的基本规律，建立起一套新的几何理论。于是就构造出一种新的几何。正是在这种思想指导下，在现代数学中，才有了多种多样的几何理论。

学习非欧几何的意义

    1．通过学习球面几何与罗氏几何，使我们看到“几何学”并不是欧氏几何的一统天下。虽然欧氏几何在我们的日常生活、生产实践与科学试验中有着广泛的应用，但是在某些领域或某种场合欧氏几何并不适用。例如在地球上要测量相距较远的两地之间的距离，或者较大范围的面积时，用欧氏几何的知识会产生很大的误差，而用球面几何的知识才能真实地反映出客观现实。所以，非欧几何往往也有很重要的实际应用价值，也是我们应该学习的重要理论。
    2．历史上，从罗氏几何产生以来，逐步地把人们的思想从欧氏几何的束缚中解放出来。特别是使一些科学家认识到，为了解决某一类实际问题（虽然这些问题并不属于几何范畴），也可以仿照几何中的办法，建立起一个空间和一套几何理论，来适应解决这一类问题的需要。于是，人们对“几何”的理解大大扩展了。正是这种思想促使数学科学获得了长足发展，使得在现在数学中出现了多种多样的几何理论，它们各自有着不同的应用范围。这种思想也逐渐形成了数学理论发展的一种模式。
    3．非欧几何的出现还自然而然地引发出一个问题：我们的宇宙到底是一种什么样的空间？它适用什么样的几何理论？人类对宇宙的探索从来没有停止过。长期以来，人们一直把宇宙空间简单地理解为三维欧氏空间。但是从非欧几何产生后，人们开始有了怀疑。直到二十世纪初，一些天文学家、物理学家经过反复观测与研究，证实了“光线在通过大质量星球时会产生弯曲”。在宇宙中只有光线才能代表直线，而光线又是弯曲的。这很像球面几何中只有大圆才能代表直线，而大圆是弯曲的。由此可以断定宇宙中应该适用一种非欧几何。爱因斯坦的广义相对论，也是建立在这样一种几何之上来描述宇宙的。这种几何一般称为黎曼几何。探索大自然的奇妙是全人类共同的神圣任务，而要成为一个探索者，必学掌握丰富的科学知识。